Geometry Problem

Pengenalan Desain dan Analisis Algoritma

Sebagai salah satu dasar dari ilmu komputer, algoritma merupakan hal yang sangat penting untuk dikuasai oleh orang-orang yang berkecimpung di dunia ilmu komputer, dari peneliti sampai ke praktisi. Tentunya penguasaan akan algoritma tidak cukup hanya sampai pada tahap mengetahui dan menggunakan algoritma yang tepat untuk menyelesaikan masalah. Seorang yang mengerti ilmu komputer harus juga mampu merancang dan mengembangkan sebuah algoritma berdasarkan masalah-masalah yang ditemui. Tulisan ini bertujuan untuk memberikan pengertian mendasar mengenai perancangan (desain) dan pengembangan algoritma, agar pembaca dapat tidak hanya menggunakan algoritma yang sudah ada, tetapi juga merancang dan mengembangkan algoritma sesuai dengan masalah yang akan diselesaikan.

Selain memberikan dasar perancangan, tulisan ini juga membahas jenis-jenis algoritma yang ada, untuk kemudian melakukan analisa terhadap beberapa algoritma untuk setiap jenisnya. Analisis algoritma dilakukan dengan tujuan utama agar pembaca dapat mengambil keputusan yang tepat dalam memilih algoritma untuk solusi.

Apa itu Algoritma?

Sebelum membahas mengenai perancangan ataupun analisis algoritma, tentunya kita terlebih dahulu harus mendefinisikan arti dari “Algoritma”. Apa itu algoritma?

Algoritma merupakan langkah-langkah (prosedur) yang harus dilakukan untuk menyelesaikan sebuah masalah.

Program komputer umumnya dibangun dengan menggunakan beberapa algoritma untuk menyelesaikan sebuah permasalahan. Misalnya sebuah program pencarian teks seperti grep akan memerlukan algoritma khusus untuk membaca dan menelusuri file, algoritma lain untuk mencari teks yang tepat di dalam file, dan satu algoritma lagi untuk menampilkan hasil pencarian ke pengguna.

Dalam mendefinisikan algoritma, kita harus dapat mendefinisikan tiga hal utama dengan jelas, yaitu:

1. Masalah, yaitu sebuah persoalan yang ingin diselesaikan oleh sebuah algoritma.
2. Masukan, yaitu contoh data atau keadaan yang menjadi permasalahan.
3. Keluaran, yaitu bentuk akhir dari data atau keadaan setelah algoritma diimplementasikan ke masukan. Keluaran merupakan hasil ideal yang diinginkan dan dianggap telah menyelesaikan masalah.

Contoh (dan Solusi) Algoritma

Contoh dari sebuah definisi algoritma yang benar adalah sebagai berikut:

Masalah

Pengurutan sekumpulan nilai yang bernilai acak.

Masukan

Serangkaian data berukuran $n$.

Keluaran

Serangkaian data berukuran $n$, dengan urutan \(a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq ... \leq a_{n-1} \leq a_{n}\), di mana \(a_x\) adalah data pada posisi \(x\) dalam rangkaian.

Data masukan yang diinginkan merupakan rangkaian data, tanpa memperdulikan jenis data (angka, huruf, teks, dan lainnya). Contoh dari nilai masukan adalah [2, 5, 1, 3, 4] ataupun ["Doni", "Andi", "Budi", "Clara"]. Data keluaran yang diinginkan, tentunya adalah data masukan yang telah terurut: [1, 2, 3, 4, 5] dan ["Andi", "Budi", "Clara", "Doni"].

Untuk menyelesaikan masalah yang diberikan di atas, kita dapat menggunakan algoritma insertion sort. Kode di bawah menunjukkan implementasi insertion sort pada bahasa pemrograman python:

def insertion_sort(data):

    for i in range(0, len(data)):

        insert_val = data[i]

        hole_pos = i

        while hole_pos > 0 and insert_val < data[hole_pos - 1]:

            data[hole_pos] = data[hole_pos - 1]

            hole_pos = hole_pos - 1

        data[hole_pos] = insert_val

Implementasi insertion sort yang diberikan di atas menunjukkan bahwa pada dasarnya sebuah prosedur yang harus dijalankan untuk mengubah data masukan menjadi data keluaran, sehingga masalah dapat terselesaikan.

Algoritma yang Baik

Kita telah mengetahui dengan jelas makna dari algoritma, sehingga pertanyaan selanjutnya adalah algoritma seperti apa yang dapat dikatakan sebagai algoritma yang baik? Pada umumnya kita tidak ingin menggunakan algoritma yang salah untuk menyelesaikan masalah karena hal ini dapat menyebabkan masalah tidak diselesaikan dengan optimal, atau lebih buruknya, tidak diselesaikan sama sekali.

Sebuah algoritma yang baik memiliki sifat-sifat berikut:

1. Benar, di mana algoritma menyelesaikan masalah dengan tepat, sesuai dengan definisi masukan / keluaran algoritma yang diberikan.
2. Efisien, berarti algoritma menyelesaikan masalah tanpa memberatkan bagian lain dari apliikasi. Sebuah algoritma yang tidak efisien akan menggunakan sumber daya (memori, CPU) yang besar dan memberatkan aplikasi yang mengimplementasikan algoritma tersebut.
3. Mudah diimplementasikan, artinya sebuah algoritma yang baik harus dapat dimengerti dengan mudah sehingga implementasi algoritma dapat dilakukan siapapun dengan pendidikan yang tepat, dalam waktu yang masuk akal.

Pada prakteknya, tentunya ketiga hal tersebut tidak dapat selalu tercapai. Kebenaran dari sebuah algoritma umumnya selalu dapat dicapai, setidaknya untuk nilai-nilai masukan umum, tetapi efisiensi dan kemudahan implementasi tidak selalu didapatkan. Begitupun, tentunya kita harus tetap berusaha mencapai ketiga hal tersebut dalam merancang sebuah algoritma.

Pembuktian Kebenaran Algoritma

Kita telah mengetahui bahwa sebuah algoritma yang baik adalah algoritma yang benar, efisien, dan mudah diimplementasikan. Pertanyaan berikutnya tentunya adalah, bagaimana kita mengetahui bahwa sebuah algoritma telah benar? Algoritma yang efisien itu seperti apa? Bagaimana kita mengukur kemudahan implementasi sebuah algoritma?

Bagian ini akan membahas mengenai pertanyaan pertama, yaitu bagaimana kita dapat mengetahui kebenaran sebuah algoritma. Tentunya efisiensi dan kemudahan implementasi sebuah algoritma menjadi tidak penting jika algoritma tersebut tidak dapat memberikan hasil yang benar.

Definisi dari kebenaran algoritma yang digunakan pada tulisan ini adalah sebagai berikut:

Sebuah algoritma dikatakan telah benar jika algoritma tersebut dapat memberikan keluaran yang benar jika menerima masukan sesuai dengan definisi algoritma tersebut, dan algoritma tersebut terbukti akan selalu dapat diterminasi (berakhir).

Pembuktian kebenaran sebuah algoritma sendiri dapat dilakukan dengan beberapa cara, misalnya:

1. Induksi Matematika,
2. Pembuktian kontradiktif,
3. Pembuktian kontrapositif, dan
4. Metode Formal.

Masing-masing alat pembuktian yang disebutkan memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing, serta kasus pengunaan yang berbeda-beda. Perlu diingat juga bahwa masih terdapat sangat banyak alat-alat pembuktikan lainnya yang dapat digunakan, tetapi kita hanya membahas satu cara pembuktian (induksi matematika) saja sebagai pengenalan cara membuktikan algoritma. Jika dibutuhkan, metode dan alat pembuktian lain akan dijelaskan lagi pada bagian yang relevan.

Sekarang mari kita lihat penggunaan masing-masing alat tersebut untuk membuktikan algoritma!

Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan alat pembuktian matematis yang digunakan untuk membuktikan pernyataan atau proses yang melibatkan perhitungan bilangan asli yang berulang. Contoh dari rumus matematis yang dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika yaitu perhitungan deret aritmatika, deret geometris, ataupun sigma bilangan.

Pembuktian menggunakan induksi matematika dilakukan dengan dua langkah, yaitu:

1. Melakukan pembuktian kasus dasar (base case), yaitu membuktikan bahwa sebuah pernyataan (fungsi) matematika atau algoritma bernilai benar jika diaplikasikan pada bilangan pertama yang sah sesuai dengan spesifikasi fungsi atau algoritma tersebut.
2. Melakukan induksi, yaitu membuktikan bahwa kebenaran dari fungsi \(P(k+1)\) jika kebenaran fungsi \(P(k)\) diketahui.

Dengan membuktikan kedua hal tersebut, kita dapat mengambil kesimpulan bahwa sebuah fungsi matematika atau algoritma bernilai benar untuk semua bilangan asli. Jika diimplementasikan dengan tepat, induksi matematika dapat juga digunakan untuk membuktikan kebenaran algoritma rekursif seperti penelusuran pohon (tree).

Untuk lebih jelasnya, mari kita lihat beberapa contoh cara pembuktian yang dilakukan dengan menggunakan induksi matematika.

Contoh 1: Deret Aritmatika

Misalkan kita diminta untuk membuktikan bahwa pernyataan matematika untuk perhitungan deret aritmatika berikut:

\[1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}\]

adalah benar untuk semua bilangan bulat \(n \geq 1\).

Untuk membuktikan pernyataan matematika di atas, terlebih dahulu kita harus mengubah pernyataan matematika tersebut menjadi sebuah fungsi matematika:

\[P(k) = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{k(k + 1)}{2}\]

dan kemudian membuktikan kebenarannya menggunakan induksi matematika. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, kita harus menjalankan dua langkah untuk melakukan pembuktian dengan induksi:

1. Pembuktian Kasus Dasar

Karena pernyataan matematika pada soal menyatakan bahwa pernyataan benar untuk semua bilangan bulat \(k \geq 1\), maka untuk pembuktian kasus dasar kita harus membuktikan bahwa \(P(1)\) adalah benar untuk ruas kiri maupun ruas kanan dari \(P(k)\).

\[\begin{split}P(1)= 1 & = \frac{1(1+1)}{2} \\ 1 & = \frac{1(2)}{2} \\ 1 & = \frac{2}{2} \\ 1 & = 1\end{split}\]

karena hasil akhir dari ruas kanan dan ruas kiri adalah sama (\(1\)), maka dapat dikatakan bahwa kasus dasar telah terbukti.

2. Induksi

Untuk pembuktian induksi, kita harus membuktikan bahwa \(P(k) \rightarrow P(k + 1)\) bernilai benar.

Langkah pertama yang dapat kita lakukan yaitu menuliskan fungsi matematis dari \(P(k + 1)\) terlebih dahulu:

\[P(k + 1) = 1 + 2 + ... + k + (k + 1) = \frac{(k + 1)((k + 1) + 1)}{2}\]

dan kemudian kita harus membuktikan bahwa ruas kiri dan ruas kanan dari \(P(k + 1)\) adalah sama. Pembuktian akan kita lakukan dengan melakukan penurunan pada ruas kiri agar menjadi sama dengan ruas kanan:

\[\begin{split}1 + 2 + ... + k + (k + 1) & = (1 + 2 + ... + k) + (k + 1) \\ & = \frac{k(k + 1)}{2} + (k + 1) \\ & = \frac{k(k + 1) + 2(k + 1)}{2} \\ & = \frac{k^2 + 3k + 2}{2} \\ & = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \\ & = \frac{(k + 1)((k + 1) + 2)}{2}\end{split}\]

dan seperti yang dapat dilihat, ruas kiri dari \(P(k + 1)\) telah menjadi sama dengan ruas kanannya, sehingga dapat dikatakan bahwa tahap induksi telah berhasil dibuktikan benar.

Dengan pembuktian kasus dasar dan induksi yang bernilai benar, kita dapat menyimpulkan bahwa \(P(n)\) bernilai benar untuk \(n \geq 1\).

Contoh 2: Pembuktian Hipotesa

Anda diminta untuk membuktikan hipotesa bahwa fungsi matematika \(n^3-n\) habis dibagi 6 untuk semua bilangan bulat \(n \geq 2\).

Langkah untuk membuktikan pernyataan tersebut sama dengan sebelumnya. Mulai dari definisi ulang fungsi matematikanya:

\[P(k) = k^3 - k\]

Dan kemudian lakukan induksi matematika, langkah demi langkah:

1. Pembuktian Kasus Dasar

Lakukan perhitungan \(P(2)\) (karena nilai \(k\) minimal 2) dan pastikan hasilnya habis dibagi 6:

\[\begin{split}P(1) & = 2^3 - 2 \\ & = 8 - 2 \\ & = 6\end{split}\]

karena \(6 \bmod 6 = 0\) maka telah dapat dibuktikan bahwa kasus dasar bernilai benar.

2. Induksi

Jika \(P(k)\) benar habis dibagi 6, maka \(P(k + 1)\), atau \((k + 1)^3 - (k + 1)\) harus juga habis dibagi 6. Mari kita lakukan pembuktiannya:

\[\begin{split}P(k + 1) & = (k + 1)^3 - (k + 1) \\ & = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) - k - 1 \\ & = k^3 - 3k^2 + 2k \\ & = k^3 - 3k^2 + 2k + k - k \\ & = k^3 - 3k^2 + 3k - k \\ & = k^3 - k + 3k^2 + 3k \\ & = (k^3 - k) + 3k(k + 1)\end{split}\]

dan dapat dilihat bagaimana \(P(k + 1)\) telah terbukti habis dibagi 6 karena:

1. \(k^3 - k\) habis dibagi 6, sesuai dengan hipotesa \(P(k)\), dan
2. \(3k(k + 1)\) habis dibagi 6 karena salah satu nikai dari \(k\) atau \(k + 1\) pasti merupakan bilangan genap, yang jika dikalikan dengan 3 akan habis dibagi 6.

Setelah berhasil menyelesaikan dua langkah induksi, kita dapat menyimpulkan bahwa \(P(k) = k^3 - k\) habis dibagi 6 untuk \(k \geq 2\).

Induksi Matematika untuk Pembuktian Algoritma

Seperti yang dapat dilihat dari apa yang telah kita pelajari pada bagian sebelumnya, induksi matematika jelas sangat berguna untuk membuktikan kebenaran sebuah teorema atau fungsi yang melibatkan perhitungan bilangan bulat yang berulang. Tetapi apa guna induksi matematika untuk membuktikan kebenaran sebuah algoritma?

Sebuah algoritma kerap kali akan memiliki bagian yang melakukan perhitungan bilangan atau data secara berulang. Kita dapat menggunakan konsep perulangan pada pemrograman untuk menerapkan perhitungan bilangan ataupun data secara berulang. Misalnya, algoritma berikut menghitung hasil kali dari dua buah bilangan bulat:

def kali(m, n):

    if m < 0:

        return -1 # error

    else:

        i = 0

        result = 0

        while(m != i):

            result = result + n

            i = i + 1

        return result

yang secara matematis dapat dituliskan sebagai fungsi berikut:

\[f(m, n) = \sum_{i=1}^{n} m; n \geq 0\]

atau lebih sederhananya:

\[m \times n = \underbrace{m + m + m + ... + m}_{\text{n kali}}\]

dan secara otomatis tentunya pernyataan matematis tersebut dapat kita buktikan dengan menggunakan induksi matematika. Pembuktian perulangan yang lebih kompleks sendiri dapat dilakukan dengan teknik yang dikenal dengan nama loop invariant, yang tidak akan dijelaskan pada tulisan ini.

Pemodelan Masalah

Pada bagian sebelumnya kita telah melihat bagaimana sebuah algoritma dituliskan menjadi fungsi matematika. Baik algoritma maupun fungsi matematika adalah sebuah model, yang digunakan untuk menggambarkan masalah yang ditemui pada dunia nyata, dan ingin diselesaikan, baik dengan menggunakan matematika ataupun program komputer. Dengan memiliki model masalah kita dapat lebih mudah mengerti masalah yang akan diselesaikan, yang akan menyebabkan solusi yang ditawarkan menjadi lebih baik.

Tetapi pertanyaannya tentunya adalah, bagaimana kita membuat model yang benar dari masalah-masalah yang ada? Bagian ini akan menjelaskan mengenai cara pembangunan model, baik secara matematis maupun algoritmik, yang benar.

Jenis-Jenis Model

Sebelum mulai membangun model permasalahan, tentunya kita terlebih dahulu harus mengetahui jenis-jenis model yang ada. Terdapat enam jenis model yang umum digunakan untuk menggambarkan masalah dalam dunia algoritma / pemrograman, yaitu:

1. Model Numerik

Model numerik merupakan model matematis yang paling sederhana, yang dibuat untuk mendeskripsikan jumlah atau ukuran dari sesuatu. Model numerik menggunakan angka (1, 2, 3, dst) untuk mendeskripsikan suatu hal. Misalkan gambar di bawah:

Model Numerik Sapi

memberikan informasi sejumlah sapi yang ada di dalam kotak. Model numerik paling sederhana dan informatif yang dapat kita ambil dari gambar tersebut adalah ‘Lima ekor Sapi’ atau ‘Lima Sapi’.

2. Model Simbolik

Jika kita mengembangkan model numerik lebih jauh, kita kemudian dapat menambahkan simbol-simbol baru untuk melakukan pemrosesan terhadap angka-angka yang ada pada model numerik. Terdapat empat buah simbol dasar untuk pemrosesan angka, yaitu \(+, -, \times, \text{dan} \div\). Simbol \(=\) juga digunakan untuk menandakan kesamaan nilai antara ruas kiri dan ruas kanan dari \(=\).

Note

Simbol \(\times \text{dan} \div\) akan dituliskan sebagai \(*\) dan \(/\) pada tulisan ini, karena kedua simbol tersebut lebih umum digunakan pada lingkungan ilmu komputer.

Jadi, sebuah ekspresi matematika seperti ini:

\[10 = 5 * 2\]

dapat dikatakan adalah sebuah model simbolik. Tentunya operator-operator numerik yang disebutkan sebelumnya memiliki aturan tertentu untuk beropearsi. Aturan-aturan umum yang kita temui untuk operator numerik yaitu:

1. Hukum Kumulatif, di mana \(a + b = b + a\) dan \(a * b = b * a\).
2. Hukum Asosiatif, di mana \(a + (b + c) = (a + b) + c\) dan \(a * (b * c) = (a * b) * c\).
3. Hukum Distribusi, di mana \(a * (b + c) = (a * b) + (a * c)\).
4. Hukum Invers, yaitu \(a + (-a) = 0\) dan a * frac{1}{a} = 1.
5. Hukum Identitas, yaitu \(a + 0 = a$ dan $a * 1 = a\).
6. Perkalian dengan 0, yaitu \(a * 0 = 0\).

Penjelasan mengenai kegunaan dan cara kerja dari hukum-hukum tersebut tidak akan dibahas lagi, karena dianggap telah diketahui oleh pembaca. Yang perlu diperhatikan adalah bagaimana kita menuliskan simbol-simbol seperti $a$ dan $b$, untuk melambangkan semua bilangan-bilangan yang mengikuti hukum-hukum di atas. Simbol-simbol yang dapat melambangkan bilangan atau nilai lain secara generik seperti ini dikenal dengan nama variabel.

Sebuah variabel merupakan simbol yang digunakan untuk merepresentasikan nilai yang dapat berubah kapanpun, tergantung dari nilai yang kita berikan kepada variabel tersebut. Variabel digunakan dalam model simbolik untuk mewakili nilai-nilai yang dapat berubah sewaktu-waktu, misalnya nilai yang harus dibaca dari masukan pengguna atau nilai yang diambil secara acak. Sebuah model bahkan dapat terdiri dari hanya variabel saja, misalnya model matematika untuk menghitung luas sebuah persegi panjang dapat dituliskan seperti berikut:

\[L = p * l\]

di mana \(p\) dan \(l\) mewakili panjang dan lebar persegi panjang, yang nilainya selalu berbeda-beda, tergantung dengan persegi panjang yang akan dihitung luasnya. Nilai \(L\), yang merepersentasikan luas persegi panjang, sendiri bergantung kepada nilai \(p\) dan \(l\), sehingga kita tidak akan mendapatkan nilai \(L\) yang konstan.

Deklarasi variabel sendiri dilakukan dengan menggunakan perintah $let$, seperti berikut:

\[\text{let }L = \text{Luas Persegi}\]

Selain model-model dengan variabel, tentunya kita juga memiliki model-model yang memiliki bilangan konstan yang tidak berubah, misalnya untuk menghitung luas segitiga:

\[L = \frac{1}{2} * a * t\]

atau model untuk menghitung keliling lingkaran:

\[K = 2 * \pi * r\]

Nilai-nilai yang tidak pernah berubah pada kedua model di atas (seperti \(2\), \(\frac{1}{2}\), dan \(\pi\)) dikenal dengan nama konstanta. Perhatikan bahwa konstanta dapat mencakup angka “mentah” seperti \(2\) ataupun simbol yang dikenal secara luas seperti \(\pi\). Konstanta biasanya dideklarasikan pada awal model atau kamus data program, dan tidak pernah berubah nilainya selama model tersebut digunakan.

Dari berbagai komponen dan contoh model simbolik yang telah kita lihat, dapat disimpulkan bahwa model simbolik merupakan model yang menggambarkan interaksi dan operasi antar komponen numerik secara abstrak. Abstraksi dari komponen numerik (angka) pada model simbolik dilakukan dengan menggunakan variabel dan konstanta.

3. Model Spasial

Tidak semua permasalahan yang diselesaikan oleh matematika atau komputer selalu berhubungan langsung dengan angka. Terkadang kita menjumpai juga masalah-masalah yang berhubungan dengan representasi dunia nyata seperti perhitungan jarak dua objek atau pencarian jalur terdekat untuk kendaraan. Secara tradisional, model untuk penyelesaian masalah seperti ini digambarkan dengan peta, graph, dan gambar-gambar teknis lainnya.

Untuk dunia komputer, model-model dunia nyata biasanya digambarkan dengan menggunakan koordinat. Sistem koordinat yang paling populer digunakan dalam hal ini adalah koordinat kartesius. Koordinat kartesius merupakan sistem koordinat yang menggambarkan sebuah nilai riil di dalam kumpulan nilai yang direpresentasikan dengan sebuah garis. Sistem kartesius dapat digambarkan dalam banyak dimensi, sesuai dengan jumlah kumpulan nilai yang digambarkan. Untuk memudahkan pengertian, gambar di bawah memperlihatkan contoh sistem koordinat kartesius dua dimensi:

Sistem Koordinat Kartesius

Untuk menyederhanakan masalah, mayoritas algoritma dan solusi yang dikembangkan dalam kuliah ini akan dilakukan dengan menggunakan sistem kartesius dua dimensi. Sistem tiga dimensi dan satu dimensi dianggap dapat diimplementasikan menggunakan konsep yang sama dengan sistem dua dimensi.

Data pada sistem kartesius dua dimensi dapat direpresentasikan dalam bentuk sebuah titik, yaitu kombinasi antara sumbu x dan sumbu y:

Titik pada Kartesius

atau sebuah garis, yang direpresentasikan dengan sebuah fungsi matematika:

Garis pada Kartesius

Dalam prakteknya, kita juga akan sering memerlukan informasi arah pergerakan dari sebuah garis. Untuk merepresentasikan hal tersebut, kita dapat menambahkan sebuah tanda panah pada garis:

Garis Berarah pada Kartesius

dan yang terakhir, kita dapat juga merepresentasikan sebuah bentuk atau bidang, menggunakan kombinasi beberapa garis:

Bidang pada Kartesius

Untuk melakukan pemrosesan data-data yang ada di dalam sistem kartesius, kita dapat melakukan operasi terhadap titik-titik yang merepresentasikan data tersebut. Titik-titik direpresentasikan dalam bentuk matriks atau array. Misalnya, segitiga yang ada pada gambar di atas dapat direperesentasikan sebagai matriks berikut:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} -3 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \end{bmatrix}\end{split}\]

Dan kemudian tentunya kita dapat melakukan operasi-operasi matriks untuk melakukan berbagai hal terhadap segitiga tersebut.

4. Model Logis

Model logis merupakan cara memodelkan masalah berdasarkan logika matematika. Terdapat empat cabang utama dari logika matematika, yaitu teori himpunan, teori model, teori rekursif, dan teori pembuktian. Masing-masing teori memiliki cara pemodelan yang berbeda-beda, untuk merepresentasikan masalah yang berbeda. Tulisan ini hanya akan membahas pemodelan logis pada bidang himpunan, dan relevansinya dengan salah satu sistem yang paling populer di dunia komputer: basis data.

Himpunan, seperti namanya, memodelkan sekumpulan entitas yang memiliki atribut (ciri khas) tertentu. Dalam menentukan atribut tujuan dari pengunaan himpunan lebih penting daripada kesamaan ciri khas dari entitas, sehingga terkadang atribut dari elemen-elemen dalam himpunan tidak selalu dapat dilihat dengan mudah. Misalnya, kita dapat mendeklarasikan sebuah himpunan dengan nama “Himpunan Barang dalam Handbag” dengan isi berupa “handphone, gunting kuku, alat make-up, tissue, dompet, alat tulis, dan karet gelang”. Secara sekilas semua entitas yang ada di dalam himpunan tidak terlihat memiliki atribut yang jelas, meskipun himpunan ini adalah himpunan yang valid.

Terdapat dua aturan khusus yang harus dipenuhi oleh sebuah himpunan, yaitu:

1. Himpunan harus didefinisikan dengan tepat. Sebuah entitas yang ada di dunia hanya dapat memiliki dua status berkaitan dengan himpunan yang didefinisikan: TERMASUK dalam himpunan atau TIDAK TERMASUK. Tidak boleh ada elemen yang bersifat ambigu, dalam arti tidak jelas masuk ke dalam himpunan atau tidak. Misalnya, kita tidak dapat mendefinisikan sebuah himpunan yang berisi “Orang Tinggi” karena tidak terdapat definisi dari “tinggi” yang jelas. Apakah 170 cm termasuk tinggi? 180?

Yang dapat kita definisikan ialah himpunan yang berisi “Orang dengan tinggi badan di atas 175 cm”, sehingga tidak terdapat perdebatan mengenai apakah 170 cm termasuk tinggi atau tidak.

2. Setiap elemen dalam himpunan harus unik. Sebuah himpunan tidak boleh memiliki nilai ganda. Aturan ini menyebabkan banyak himpunan yang ada di dunia nyata tidak dapat direpresentasikan dengan himpunan matematika. Misalnya, kita dapat saja memiliki himpunan sendok yang terdiri dari banyak sendok identik. Dalam himpunan matematis, hal ini tidak diperbolehkan. Aturan ini juga menyebabkan penggabungan himpunan menjadi sedikit berbeda. Himpunan berisi angka 1, 2, 3, 4 jika digabungkan dengan himpunan 3, 4, 5, 6 akan menghasilkan himpunan 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ide “nilai unik” untuk setiap elemen dalam himpunan ini lah yang menjadi dasar dari pengindeksan dan primary key dari basis data relasional.

Pemodelan himpunan sendiri biasanya dilakukan dengan menggunakan diagram Venn. Gambar di bawah memberikan contoh sebuah diagram Venn, yang menggambarkan himpunan dari segi empat:

Contoh Diagram Venn

Dari gambar diagram Venn di atas, kita dapat melihat bagaimana seluruh persegi adalah juga persegi panjang, dan baik persegi maupun persegi panjang adalah merupakan segi empat. Jika kita menambahkan jenis segi empat lainnya, misalnya trapesium, dapatkah anda menggambarkan diagram Venn-nya?

5. Model Statistik

Terdapat banyak permasalahan di dunia nyata yang tidak dapat dimodelkan dengan mudah menggunakan keempat model matematis yang telah kita bahas sebelumnya. Terkadang kita dihadapkan dengan permasalahan yang sangat kompleks, sampai-sampai memodelkan dan menganalisa setiap situasi yang mempengaruhi masalah tersebut akan menjadi sangat mahal, memerlukan banyak orang, dan banyak waktu.

Sebagai contoh, bayangkan jika kita diminta untuk melakukan prakiraan cuaca. Dengan menggunakan model matematis yang ada, kita akan memerlukan sangat banyak kalkulasi, yang saling mempengaruhi satu sama lainnya. Praktisnya, kita harus mampu melakukan simulasi terhadap seluruh elemen yang ada di bumi untuk melakukan prakiraan cuaca dengan tepat. Hal ini tentunya sangat tidak efektif untuk dilakukan. Lalu bagaimana para ahli sekarang melakukan prakiraan cuaca?

Jawabannya adalah model statistik. Dengan mengumpulkan sampel data cuaca pada masa lalu, kita dapat melihat kecenderungan atau tren cuaca yang akan terjadi sesuai dengan keadaan cuaca kita sekarang. Pada dasarnya, sebuah model statistik melakukan analisa tren terhadap sampel data yang relevan untuk meniadakan ketidak pastian atau keadaan khusus. Dengan mengambil keadaan rata-rata dari sekumpulan data, kita akan mendapatkan kecenderungan dari sebuah keadaan jika dihadapkan dengan keadaan umumnya.

Contoh Model Statistik

Gambar di atas menunjukkan contoh dari model statistik. Ingat, bahwa kesimpulan yang dapat diambil dari sebuah model statistik hanyalah berupa kecenderungan atau tren. Kita tidak bisa membuktikan sesuatu atau memberikan hasil yang pasti menggunakan statistik. Dapat dikatakan bahwa kalimat seperti “statistik membuktikan ...” pada tulisan ilmiah populer kurang tepat.

6. Pseudocode

Semua model matematis yang telah dijelaskan sebelumnya merupakan model matematika yang digunakan dan dimengerti oleh manusia. Jika ingin menggunakan model matematis tersebut di komputer, terlebih dahulu kita harus melakukan konversi menjadi kode program yang dapat dibaca dan dimengerti oleh komputer. Kode program sendiri dimodelkan dengan banyak cara, dan yang paling relevan dengan algoritma ialah pseudocode.

Pseudocode memberikan langkah-langkah penyelesaian masalah dengan menggunakan bahasa manusia, dengan sedikit batasan sesuai dengan konstruk logika komputer. Pseudocode tidak memiliki konstruk untuk bahasa pemrograman tertentu, sehingga pseudocode harus bisa diimplementasikan dengan bahasa pemrograman apapun. Berikut adalah contoh pseudocode sederhana:

for i = 1 to 5 do

    print i

end for

Untuk penjelasan lebih mendetail tentang pseudocode, silahkan baca kembali bahan kuliah untuk Pemrograman Dasar.

Kita telah melihat model matematis yang umum digunakan untuk menyelesaikan masalah. Pertanyaan selanjutnya tentunya adalah: kapan kita menggunakan model A dan kapan menggunakan model B? Bagaimana membuat model A menjadi kode program yang dapat dijalankan oleh komputer?

Pengembangan Model

Proses pengembangan model dapat dilakukan dengan beberapa langkah yang telah dibangun oleh para ahli matematika. Jika proses pengembangan model dilakukan mengikuti langkah-langkah yang ada, idealnya kita akan mendapatkan model yang tepat untuk permasalahan yang akan diselesaikan. Adapun langkah-langkah yang harus diambil untuk membangun sebuah model yaitu:

1. Apakah masalah yang dihadapi merupakan masalah yang memerlukan solusi matematis? Jika masalahnya merupakan masalah numerik (perhitungan angka) atau logis, maka jawabannya sudah pasti “ya”. Jika solusi dari masalah berupa pendapat, maka kemungkinan jawabannya adalah “tidak”.
2. Fakta-fakta relevan apa saja yang diketahui? Masalah umum yang dihadapi saat akan membangun solusi adalah informasi yang terlalu banyak, yang terkadang mencuri fokus kita dari akar masalah. Pisahkan antara fakta (informasi) yang relevan dari keseluruhan informasi yang didapatkan.
3. Fakta atau informasi tambahan apa yang kita perlukan untuk menyelesaikan masalah? Di mana atau bagaimana cara agar kita mendapatkan fakta-fakta tersebut?
4. Adakah langkah atau metode alami untuk menyelesaikan masalahnya? Metode alami artinya metode yang umumnya digunakan oleh manusia. Misalnya, untuk menghitung total dari sekumpulan nilai kita dapat menambahkan seluruh bilangan yang ada di dalam kumpulan nilai tersebut.
5. Apakah fakta-fakta yang ada dapat direpresentasikan oleh simbol matematis dan dikategorikan menjadi fakta yang “diketahui” dan “tidak diketahui”?
6. Apakah terdapat model lama yang dapat digunakan atau disesuaikan untuk menyelesaikan masalah kita?
7. Jika terdapat model yang telah dikembangkan sebelumnya untuk masalah kita, apakah model tersebut dapat diaplikasikan pada komputer?
8. Bagaimana kita dapat mengaplikasikan model dari solusi kita sehingga model tersebut dapat dibuat menjadi program komputer dengan mudah?

Dengan menjalankan langkah-langkah di atas, idealnya kita akan mendapatkan sebuah model solusi yang tepat untuk permasalahan kita. Untuk lebih jelasnya, mari kita aplikasikan model masalah yang ada ke contoh sebuah kasus!

Contoh: Perhitungan Bunga Pinjaman

Kita diminta untuk mengembangkan sebuah program komputer untuk sebuah perusahaan kredit ACME. Program yang akan kita kembangkan merupakan sistem untuk menghitung total jumlah yang harus dibayar oleh peminjam uang per tahunnya. Bunga pinjaman yang diberikan ACME adalah sebesar 15% per tahunnya.

Untuk membangun sistem perhitungan yang diminta, tentunya terlebih dahulu kita harus membangun modal solusi untuk perhitungan bunganya. Mari kita ikuti langkah-langkah untuk membangun model yang telah dijelaskan sebelumnya:

1. Apakah masalah yang dihadapi merupakan masalah yang memerlukan solusi matematis?

Ya. Perhitungan total bunga bunga jelas akan melibatkan matematika.

2. Fakta-fakta relevan apa saja yang diketahui?

Bunga pinjaman sebesar 15% per tahun.

3. Fakta atau informasi tambahan apa yang kita perlukan untuk menyelesaikan masalah?

Beberapa fakta tambahan yang harus ada tetapi tidak disebutkan secara eksplisit pada deskripsi masalah:

1. Jumlah pinjaman awal. Untuk menghitung total pinjaman dengan bunganya jelas kita harus mengetahui jumlah pinjaman awal terlebih dahulu.
2. Lama pinjaman. Tanpa adanya lama pinjaman, kita tidak dapat mengetahui dengan pasti total bunga yang harus ditambahkan.
3. Adakah langkah atau metode alami untuk menyelesaikan masalahnya?

Ya, lakukan perhitungan bunga tiap tahunnya, dan tambahkan hasil kalkulasi tersebut sampai tahun pinjaman terakhir.

5. Apakah fakta-fakta yang ada dapat direpresentasikan oleh simbol matematis?

Dari fakta-fakta yang kita dapatkan pada langkah kedua dan ketiga, kita dapat mendefinisikan simbol matematis seperti berikut:

\[\begin{split}\text{let }b & = \text{bunga} \\ \text{let }p & = \text{jumlah pinjaman} \\ \text{let }t & = \text{waktu pinjaman (per tahun)} \\ \text{let }T & = \text{total pinjaman}\end{split}\]

6. Apakah terdapat model lama yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah kita?

Ya, perhitungan bunga majemuk yang dimodelkan dengan rumus: \(T = p(1 + b)^t\).

7. Apakah model yang ada sebelumnya pada langkah 6 dapat diaplikasikan pada komputer?

Kemungkinan tidak, karena perhitungan bunga majemuk merupakan perhitungan yang tidak banyak diketahui orang (terutama pada bidang pemrograman), dan juga memiliki banyak aturan kompleks yang harus dimengerti terlebih dahulu.

Karena kasus yang sederhana, kita akan lebih mudah mengimplementasikan algoritma kita sendiri, yang cukup melakukan iterasi dan menambahkan total pinjaman setiap tahunnya. Mari kita coba kembangkan model iterasi yang dapat digunakan.

Untuk tahun pertama, peminjam akan berhutang sebanyak:

\[T = p + (15\% * p)\]

selanjutnya, untuk tahun kedua hutangnya akan bertambah menjadi:

\[T' = T + (15\% * T)\]

di mana \(T'\) adalah nilai baru dari \(T\). Kita cukup melakukan perhitungan yang sama terus menerus, sebanyak $t$ kali untuk mendapatkan hasil akhir berupa \(T\) yang menyimpan total hutang yang dipinjam. Jika dikembangkan, maka model matematis akhir yang kita dapatkan adalah:

\[T = T + (\frac{15}{100} * T)\]

yang akan dijalankan sebanyak $t$ kali, dengan nilai $T$ yang bertambah setiap iterasinya. Dengan informasi ini, kita dapat mengimplementasikan pseudocode seperti berikut:

b = 15

T = 0

READ p, t

T = p

for i = 1 to t do

    T = T + (15 / 100 * T)

end for

WRITE T

yang kemudian akan kita implementasikan sebagai fungsi penghitung total pinjaman.

8. Bagaimana kita dapat mengaplikasikan model dari solusi kita sehingga model tersebut dapat dibuat menjadi program komputer dengan mudah?

Pseudocode yang ada sudah sangat jelas, dan baris per barisnya dapat diimplementasikan secara langsung menggunakan bahasa pemrograman apapun.

Setelah mendapatkan model penyelesaian masalah sampai pada pseudocode-nya, kita kemudian dapat mengimplementasikan solusi yang dikembangkan menggunakan bahasa pemrograman yang diinginkan. Berikut adalah contoh implementasi algoritma tersebut pada python:

b = 15

T = 0

p = input("Masukkan jumlah pinjaman: ")

t = input("Masukkan lama pinjaman: ")

T = int(p)

for i in range(1, int(t)):

    T = T + (15 / 100 * T)

print("Total pinjaman yang harus dibayarkan adalah: " + str(T))

Kesimpulan

Pada bagian ini kita telah mempelajari tentang ciri khas algoritma yang baik, yaitu benar, efisien, dan mudah diimplementasikan. Kita juga mempelajari bagaimana membuktikan sebuah algoritma adalah sebuah algoritma yang benar, dan bagaimana mengembangkan algoritma yang benar, menggunakan model matematis.

Terdapat enam jenis model matematis yang kita bahas, beserta dengan cara menggunakan model matematis tersebut ke kasus pada dunia nyata. Selanjutnya kita akan mempelajari bagaimana mengembangkan algoritma yang efisien, beserta definisi dari efisiensi algoritma tentunya.

Sumber:

https://bertzzie.com/knowledge/analisis-algoritma/PengenalanDesaindanAnalisisAlgoritma.html